风过无痕

引言

1. LTI系统分析方法包括时间域和变换域。本章研究的是时间域分析方法求解，不涉及任何变换，是直接解系统的微分、积分方程式，成为经典时域法。这种方法具有比较直观、物理概念清楚的优点，但是求解过程比较复杂。然而，在如今计算机广泛应用的时代，算力微分方程的求解不再那么困难，因此时域分析的应用有很大的发展。

2. 本章研究LTI系统主要用：端口(输入—输出)描述。(状态方程描述在本章不涉及)

用时域经典法求解微分方程

1. 先建立系统的微分方程，之后给定激励信号的函数形式和系统的初始状态，便可求解所需响应 即系统之后的所有状态都可以求得

2. 求解得到的完全解由两部分组成：齐次解$r_h(t)$和特解$r_p(t)$

   3. 求解齐次解(又叫自由响应)

      令激励信号及其各阶导数为0，得到特征方程，其求解结果就是齐次解 齐次解根据特征方程的根的种类，有以下几种分布： (齐次解的系数C要通过初始条件来解出,它是在先求出特解后,再能求解系数C,所以系数C与激励也有关)

      

   4. 求解特解(又叫强迫响应)

      根据激励信号函数的形式便可设定特解形式，将设定特解带入方程，便可求出系数，得出具体的特解，设定特解形式有如下：

      

初始状态和初始条件

1. 初始状态是$0_{-}$时的值，反应的是历史信息，与激励信号无关，一般为已知

2. 初始条件是0_+时的值，，因为激励的加入可能会产生值的跳变，所以初始状态和外加激励共同决定的初始条件，即初始条件 = 初始状态 + 外加激励

3. 如何判断系统的响应在t=0时刻是否跳变：因为方程两边所含有的冲激函数及其各阶导数始终相同这一条件，所以可以根据此条件，在0时刻进行判断。

零输入响应和零状态响应

1. 零输入响应$y_{zi}(t)$：是激励为零时，仅有初始状态引起的响应。形式与齐次解形式相同。 因为认为是无激励的情况，所以**“初始条件 = 初始状态”**

2. 零状态响应$y_{zs}(t)$：是初始状态为0时，仅由激励引起的响应。形式中含有齐次解和特解。 因为认为是初始状态为0，所以“初始条件 = 外加激励(跳变量)”

3. 全响应$y(t)$：零输入响应 + 零状态响应

冲激响应和阶跃响应

1. 冲激响应：

   2. 当激励$e(t)=\delta (t)$时，LTI系统的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用$h(t)$表示。 因为是零状态响应，所以认为此时的零输入初始条件为0，初始条件仅由外加激励来确定。由因为这是$0_{-}$到$0_{+}$的瞬时跳变量，而一般的激励在${\int }_{0_{-}}^{0_{+}}e\left(t\right)\text{d}t$上的积分为0，只有${\int }_{0_{-}}^{0_{+}}\delta \left(t\right)\text{d}t$的积分值为1，因此只有激励函数中存在冲激函数及其各阶导数时，初始条件从$0_{-}$到$0_{+}$才会产生跳变量。并且，在物理上冲激函数代表瞬时能量输入（如电容的瞬时充电或电感的瞬时电流变化）。因此方程两边的冲激函数及其各阶导数应该相同，才能代表着能量输入与系统响应守恒。因此我们可以通过冲激平衡法来判断系统响应在t=0时刻有没有发生跳变。

      • 参考资料：

        利用冲激平衡法，设冲激响应h(t)的形式（通过求特征根 再转 齐次方程形式）-CSDN博客

        信号与系统 - 冲击响应和阶跃响应_已知阶跃响应怎么求冲激响应-CSDN博客

   3. 冲激响应h(t)反应了系统特性。因为h(t)是零状态响应，所以在t>0时，方程右端恒为0，故冲激响应的形式与齐次解的形式相同。

2. 阶跃响应：

   3. 当激励$e(t)=\epsilon (t)$时，LTI的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，常用$g(t)$来表示。

   4. 可用求零状态响应的方法求g(t) 此外因为$\epsilon (t)={\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau$,可以推出$g(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )d\tau$

卷积积分

1. 卷积方法的原理：

   将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，从而求解系统对任意激励信号的零状态响应。通过数学推导，可以得出，在LTI系统条件下，若已知系统的冲激响应h(t)以及激励信号e(t)，则系统的零状态响应$r(t)={\int }_0^{t}e(\tau )h(t-\tau )d\tau$

2. 上面提到的卷积方法是用卷积求线性系统零状态响应的物理问题，下面从数学上给出卷积积分运算的定义：$s(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau =f_1(t)\ast f_2(t)$。

3. 卷积的图形解释：

   3. 如果直接带入公式求卷积的过程比较复杂困难，那么可以通过图解法来简化运算，并且帮助我们理解卷积的概念，把一些抽象的关系具象化，便于分段计算

   4. 对于卷积运算图解法有五个步骤：

      5. $f_1(t)$与$f_2(t)$变量置换，将$t$变为$\tau$，但波形仍保持原状

      6. 把其中一个信号以纵坐标为轴反折(例：$f_2(\tau )\to f_2(-\tau )$)

      7. 把反折后的信号移位，移位量是$|t|$，在$\tau$坐标系中，$t>0$图像右移；$t<0$图像左移

      8. 两信号重叠部分相乘值为$f_1(\tau )f_2(t-\tau )$

      9. 把相乘值根据图形的重叠情况，分类讨论，确定不同的积分区间，然后积分

      • 卷积积分的常用结论

        1. 两个等宽的门函数卷积结果为等腰三角形

        2. 两个不等宽的门函数卷积结果为等腰梯形

4. 卷积积分的性质：

   4. 运算性质：

      5. 交换律、分配律、结合律

      6. 微分与积分

         $\frac{d}{dt}[f_1(t)\ast f_2(t)]=\frac{d{f}_1(t)}{dt}\ast f_2(t)=f_1(t)\ast \frac{d{f}_2(t)}{dt}$

         ${\int }_{-\infty }^t[f_1(x)\ast f_2(x)]dx=f_1(t)\ast {\int }_{-\infty }^t{f}_2(x)dx={\int }_{-\infty }^t{f}_1(x)dx\ast f_2(t)$

         经过推演,可求出卷积高阶导数和多重积分的运算规律:$s^{(i)}(t)=f_1^{(j)}(t)\ast f_2^{(i-j)}(t)$

      7. 与冲激函数的卷积

         $f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$

         $f(t)\ast {\delta }^{\prime }(t-t_0)=f^{\prime }(t-t_0)$

         $f(t)\ast {\int }_{-\infty }^t\delta (x)dx={\int }_{-\infty }^{t}f(x)dx$

      8. 时移特性

         $y(t-t_0)=f_1(t-t_0)\ast f_2(t)=f_1(t)\ast f_2(t-t_0)$

         $y(t-t_1-t_2)=f_1(t-t_1)\ast f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)\ast f_2(t-t_1)$