风过无痕

傅里叶级数与信号的频谱

1. 傅里叶级数（只能用于研究周期性信号）（满足狄利克雷条件的周期信号可展开傅里叶级数）

   2. 三角形式的傅里叶级数

   3. 指数形式的傅里叶级数

   4. 两类傅里叶级数的系数的关系

2. 周期信号的频谱

   3. 频谱图：用来描述傅里叶系数（幅度）和相位随频率变化特性的图形

      4. 幅度谱：以角频率为横坐标，以幅度为纵坐标，画出的谱线图

      5. 相位谱：以角频率为横坐标，以相位为纵坐标，画出的谱线图

   4. 频谱图—单边频谱

   5. 频谱图—双边频谱

3. 周期信号频谱图特点分析

   2. 周期矩阵脉冲信号（举例、由此推出普适特点）

   3. 三大特征：离散性、谐波性、收敛性

      2. 离散性：

         谱线只可能出现在 $\omega =0$、$\Omega$、$2\Omega$、$3\Omega$ 等离散频率点上

      3. 谐波性：谱线只可能出现在基波频率为Ω的整数倍频率点上

      4. 收敛性：

         频谱随$\omega =n\Omega$的增大，幅度在起伏中减小

傅里叶变换和频谱密度

• 傅里叶变换

  1. 傅里叶变换的定义：(一般都用来求解非周期信号)

     2. 傅里叶正变换定义式（将频域信号转换为时域信号）

     3. 傅里叶逆变换定义式（将时域信号转换为频域信号）

  2. 频谱密度函数：

     时域信号函数的频谱密度函数就是它的傅里叶变换函数

     1. 讨论该傅里叶变换函数的实部和虚部性质$F(\omega )=R(\omega )+jX(\omega )$

     2. 讨论该傅里叶变换函数的模和相位的性质$F(\omega )=|F(\omega )|e^{j\phi (\omega )}$

        可以反应时域信号函数分解为不同频率的余弦分量的幅度和相位的变化规律 一般研究幅度频谱和相位频谱（对于非周期信号系统来说，都是连续谱）

  3. 常见信号的频谱密度函数

     2. 门函数

     3. 冲激信号

     4. 直流信号

     5. 阶跃函数

     6. 符号函数

     7. 单边指数信号

     8. 双边指数信号

• 傅里叶变换的性质（非常重要，要掌握好）

  1. 线性性质（能推出傅里叶变换是一种线性变换）

  2. 奇偶性：

     若$f(t)$为$t$的实、偶函数，则$F(\omega )$为$\omega$的实、偶函数

     若$f(t)$为$t$的实、奇函数，则$F(\omega )$为$\omega$的虚、奇函数

  3. 时移性质

     若信号右移$t_0$，频域中相频谱产生$-\omega t_0$的附加变化（滞后$\omega t_0$）

     若信号左移$t_0$，频域中相频谱产生$\omega t_0$的附加变化（超前$\omega t_0$）

  4. 频移性质

     时域中乘$e^{j{\omega }_{0}t}$，频域中频谱向右平移${\omega }_0$

     时域中乘$e^{-j{\omega }_{0}t}$，频域中频谱向左平移${\omega }_0$

     调制特性（调制的本质就是将调制信号的频谱搬移到了载波上）

  5. 尺度变换特性（压缩时域信号的持续时间←→通信系统应具有的带宽变大） （记得是对t作用变换）

  6. 对称性（互易性）

  7. 时域卷积性质（时域中卷积，对应频域中相乘）

  8. 频域卷积性质（时域中相乘，对应频域中卷积→频带范围展宽，且为两信号频谱范围之和）

  9. 时域微分性质

  10. 时域积分性质

  11. 频域微分性质

  12. 能量定理

• 周期信号的傅里叶变换（因为一般傅里叶变换都是讨论非周期信号，所以这里特别标出）

  1. 一般周期信号的傅里叶变换

  2. 傅里叶系数和傅里叶变换的关系

  3. 求解周期信号傅里叶变换的方法