风过无痕

引言

1. 从这章开始引入拉普拉斯变换和复频域(s域) 数学上的意义是为了简化求解的运算(把傅里叶变换的积分和微分运算，转化为乘法和除法运算；并且把指数函数以及其它不太好求的函数，经拉氏变换后转换为简单的初等函数；还把时域中两函数的卷积转换为复频域中两函数的乘法) 物理上的意义是将频率转换为复频率，这样不仅仅能给出重复频率，还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率。(物理意义较难理解，还是建议先学会了使用和做题，再回来理解他的含义)

2. 经过一些数学上的等价运算，是可以把傅里叶变换，推导为拉普拉斯变换，这样信号f(t)也变换为F(s)，而不是F(w)(即转换为复频域里，而不是频域里)。

   单边拉氏变换正变换：$F(s)={\int }_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

   单边拉氏变换负变换：$f(t)=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}ds(t\ge 0)$

3. 根据推出来的这两个核心公式，我们就可以推出一些常用函数的拉氏变换。对于不常用或者复杂的函数信号，是有一些对应于傅里叶变换的拉氏变换的基本性质，可以帮助我们将这些复杂函数信号，转化为复频域里的函数信号

4. 对于转化为复频域的信号，可以进行运算，得到目标信号函数的复频域函数(记作象函数)。在得出目标复频域函数后，需要再将其转换为时域信号中的函数，因此就需要进行拉氏逆变换来推出时域信号。常用的方法是部分分式分解法，将复杂的象函数分解为常用象函数的加减，从而直接通过查表来求出其时域信号，无需逆变换的积分运算(留数定理)，大大简化求解过程。

一些常用函数的拉氏变换(也可见郑君里《信号与系统引论》P182)

就是将函数直接带入单边拉氏变换正变换即可求出象函数$F(s)$

参考资料：

拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的常用结论与经典公式-CSDN博客

拉氏变换的基本性质(也可见郑君里《信号与系统引论》P190)

拉普拉斯逆变换

1. 普遍上，我们可以用留数定理来求解拉氏变换逆变换，但过程太过复杂，而且我们目前不用讨论复杂的信号函数，一般用部分分式分解法即可求解

2. 部分分式求解法：

   3. 象函数一般可表示为两个s的多项式之比：$F(s)=\frac{A(s)}{B(s)}$。 其中A(s)和B(s)都可写作如下的形式：$A(s)=a_m(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_n),B(s)=b_n(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)$

      $A(s)$的根为$z_i$，称为零点；$B(s)$的根为$p_i$，称为极点

   4. 根据极点的不同特点，部分分式分解有以下几种情况：

      2. 极点为实数，无重根：

         情况 1：当$m<n$时，此时$A(s)$的阶次小于$B(s)$的阶次，可以将$F(s)$分解为如下形式： $F(s)=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots +\frac{K_m}{s-p_m}$ 用$K_i=(s-p_i)F(s){|}_{s=p_i}$即可将系数求出(可通过式子的基本运算和极限法求得)

         情况 2：当$m\ge n$时，此时$A(s)$的阶次大于$B(s)$的阶次，要先用长除法将分子中的高阶次提出，剩下的部分又能满足$m<n$的条件

      3. 包含共轭复数极点：

      4. 有多重极点：

s域元件模型