半导体器件基本方程的形式#

1. 泊松方程(告诉我们要怎么根据电荷（掺杂离子、电子、空穴）的分布来计算电势和电场。)

   $\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_s}=-\frac{q}{{\epsilon }_s}\left(p-n+N_{\text{D}}-N_{\text{A}}\right)$

   $\rho$：净电荷密度

   ${\epsilon }_s$：半导体材料的介电常数

   式中$\psi$为静电势，它与电场强度$\vec{E}$之间有如下关系：

   $\frac{d\psi }{dx}=-\vec{E}$

   所以泊松方程又可写成

   $\frac{d\vec{E}}{dx}=\frac{q}{{\epsilon }_s}\left(p-n+N_{\text{D}}-N_{\text{A}}\right)$

   物理意义：电场在空间上的变化率，正比于该处的净电荷密度。

2. 输运方程(根据电场，确定了器件到底能流过多少电流(即器件的I-V特性),描述了电子和空穴在半导体里是怎么动的)

   输运方程又称为电流密度方程。

   电子电流密度 $J_n$ 和空穴电流密度 $J_p$ 都是由漂移电流密度和扩散电流密度两部分所构成，即

   $J_n=q{\mu }_{n}nE+q{D}_n\frac{dn}{dx}$

   $J_p=q{\mu }_{p}pE-q{D}_p\frac{dp}{dx}$

3. 连续性方程(把电流（输运方程的结果）和载流子浓度（$n,p$）随时间的变化联系了起来，根据电流更新浓度，反过来又影响泊松方程中的电荷密度)

   $\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{1}{q}\frac{\partial J_{\text{n}}}{\partial x}-U_{\text{n}}$

   $\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{q}\frac{\partial J_{\text{p}}}{\partial x}-U_{\text{p}}$

   式中， $U_{\text{n}}$ 和 $U_{\text{p}}$ 分别代表电子和空穴的净复合率。当 $U>0$ 时表示净复合，当 $U<0$ 时表示净产生。

   所谓连续性是指载流子浓度在时空上的连续性，即：造成某体积内载流子增加的原因，一定是载流子对该体积有净流入和载流子在该体积内有净产生。

   载流子随时间的变化率 = 流入流出的净变化 + 产生 - 复合

基本方程的简化与应用举例#

• 核心方程组的一维度简化形式

  泊松方程：$\frac{dE}{dx}=\frac{q}{{\epsilon }_s}(p-n+N_D-N_A)$

  电子电流密度方程：$J_n=q{\mu }_{n}nE+q{D}_n\frac{dn}{dx}$

  空穴电流密度方程：$J_p=q{\mu }_{p}pE-q{D}_p\frac{dp}{dx}$

  电子连续性方程：$\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{1}{q}\cdot \frac{\partial J_n}{\partial x}-U_n$

  空穴连续性方程：$\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{q}\cdot \frac{\partial J_p}{\partial x}-U_p$