第6章集成有源滤波器#

滤波器的全维度分类#

1. 按元件性质（最常用）#

有源滤波器： 含有放大器件（如运放），体积小、带载能力强，但需要电源，且受运放带宽限制。
无源滤波器： 由R、L、C组成，不需电源，常用于高压高频领域。
其他特殊形式： 陶瓷、晶体、机械、锁相环、开关电容滤波器（集成电路中非常常用）。

2. 按信号处理方式#

模拟滤波器： 处理连续时间信号（本课程重点）。
数字滤波器： 处理离散序列（属于数字信号处理DSP范畴）。

3. 按通频带（功能分类 - 必考点）#

低通 (LPF)： 通低频，阻高频。
高通 (HPF)： 通高频，阻低频。
带通 (BPF)： 只允许特定频率范围内的信号通过。
带阻 (BEF/BSF)： 抑制特定频率范围内的信号。

四种基本滤波器的幅频特性图解#

此展示了滤波器的幅频特性曲线（Bode图），你需要掌握以下几个关键参数：

幅频特性图

在 (a) 低通 和 (b) 高通 滤波器中， $ω_{0}$ 代表的是 截止频率 (Cutoff Frequency)。这是增益下降 3dB 时对应的频率点。

在 (c) 带通 和 (d) 带阻 滤波器中， $ω_{0}$ 代表的是 中心频率 (Center Frequency)。而在这些图中， $ω_{1}$ 和 $ω_{2}$ 才是代表上下两个 3dB 的截止频率。

参数名称	符号	含义
通带增益	$* A_{d o} *$	信号在通带内被放大的倍数（图中以 20lg $* A_{d o} *$ 表示）。
截止频率	$* ω_{0} $ 或 $ f_{c} *$	增益下降到通带增益的 $\frac{1}{2}$ （即 -3dB）时的频率。
带宽	$* B W *$	对带通/带阻而言，为上下两个截止频率之差： $* B W = ω_{2} - ω_{1} *$ 。
过渡带	-	从通带到阻带的衰减斜率，斜率越陡，性能越接近“理想滤波器”。

典型滤波器的传递函数#

常用一阶、二阶滤波器特性汇总#

滤波器类型	传递函数 G(s)	幅频特性 G(ω)
一阶低通	$\frac{G _{0} ω _{C}}{s + ω _{C}}$	$\frac{G _{0} ω _{C}}{ω ^{2} + ω _{C}^{2}}$
一阶高通	$\frac{G _{0} s}{s + ω _{C}}$	$\frac{G _{0} ω}{ω ^{2} + ω _{C}^{2}}$
二阶低通	$\frac{G _{0} ω _{n}^{2}}{s ^{2} + ξ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}$	$\frac{G _{0} ω _{n}^{2}}{( ω _{n}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ξ ω ω _{n} ) ^{2}}$
二阶高通	$\frac{G _{0} s ^{2}}{s ^{2} + ξ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}$	$\frac{G _{0} ω ^{2}}{( ω _{n}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ξ ω ω _{n} ) ^{2}}$
二阶带通	$\frac{ξ G _{0} ω _{0} s}{s ^{2} + ξ ω _{0} s + ω _{0}^{2}}$	$\frac{ξ G _{0} ω _{0} ω}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ξ ω ω _{0} ) ^{2}}$
二阶带阻	$\frac{G _{0} ( s ^{2} + ω _{0}^{2} )}{s ^{2} + ξ ω _{0} s + ω _{0}^{2}}$	$\frac{G _{0} ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )}{( ω _{0}^{2} - ω ^{2} ) ^{2} + ( ξ ω ω _{0} ) ^{2}}$

关键参数说明#

在上述公式中，各符号通常代表以下物理含义：

$* G_{0} *$ ：通带增益（放大倍数）。
$* ω_{C} *$ ：截止角频率（对于一阶滤波器）。
$* ω_{n} / ω_{0} *$ ：特征角频率或中心角频率。
$* ξ *$ ：阻尼比（Damping ratio），它决定了滤波器在频率响应附近的尖峰程度（Q值与此相关， $* Q = 1/ ξ *$ ）。
$* s *$ ：拉普拉斯变换算子，在稳态频率分析时可令 $* s = jω *$ 。

注意#

分母规律：所有二阶滤波器的分母形式都是统一的 $* s^{2} + ξ ω_{n} s + ω_{n}^{2} *$ ，这代表了系统的固有特性。
分子决定类型：
- 分子是常数 → 低通
- 分子含 $* s^{2} *$ → 高通
- 分子含 s → 带通
- 分子含 ( $* s^{2} + ω_{0}^{2} *$ ) → 带阻（在 $* ω_{0} *$ 处分子为0）

一阶和二阶的性能对比#

衰减速度（斜率）：
- 一阶：只有 -20dB/dec（速度恒定），下降太慢，选择性差。（频率每增加 10 倍，增益下降 20 分贝）
- 二阶：能达到 40dB/dec，下降更陡峭，性能更接近理想状态。
阻尼系数 $ξ$ ：
- 当 $ξ$ = 1.414（巴特沃斯响应）时，波形最平坦，没有起伏。
- 当 $ξ$ < 1.414 时，在截止频率附近会出现一个“鼓包”（增益峰值）， $ξ$ 越小，鼓包越高

低通滤波器#

一阶低通滤波器#

电路结构

理想情况分析#

这个电路的基础是一个反相比例放大电路

反馈支路：电容 $C_{f}$ 和电阻 $R_{f}$ 是并联的

电容的特性是“通高频，阻低频”

当频率很低时：电容相当于断路，电流都走 $R_{f}$ ，这就是个普通的放大器，增益最大

当频率很高时：电容相当于短路，反馈支路的阻抗变得非常小。根据反相放大倍数公式 $G = - \frac{Z _{f}}{R _{1}}$ ，阻抗越小，倍数就越小。所以高频信号被“压制”住了

注意：

通带增益 $G_{0}$ （也就是频率为 0 时的放大倍数）
截止角频率 $ω_{c}$ （波形转折点）（当频率刚好等于 $ω_{c}$ 时，增益比平时下降了 3dB）

电路构成与传输函数（图 6-2-1）

该电路是由运算放大器构成的反相输入式有源滤波器。
- 电路结构
  - 反馈支路：由电阻 $R_{f}$ 和电容 $C_{f}$ 并联组成（形成低通特性）。
  - 输入支路：电阻 $R_{1}$ 。
  - 核心原理：利用电容在高频下阻抗变小的特性，使高频信号的反馈增强，从而降低增益。
- 传输函数 G(s)
  
  $G (s) = \frac{U _{o} ( s )}{U _{i} ( s )} = - \frac{Z _{f} ( s )}{Z _{1} ( s )} = \frac{G _{0}}{1 + \frac{s}{ω _{c}}}$
频率特性（图 6-2-2）

将 s 替换为 $jω$ ，得到频率特性表达式。
- 幅频特性 $G (ω)$
  
  表示增益模值随频率的变化：
  
  $G (ω) = \frac{∣ G _{0} ∣}{1 + ( \frac{ω}{ω _{c}} ) ^{2}}$
  - 当 $ω ≪ ω_{c}$ 时： $G (ω) \approx ∣ G_{0} ∣$ （平坦区）。
  - 当 $ω = ω_{c}$ 时： $G (ω) = \frac{1}{2} ∣ G_{0} ∣$ ，对应分贝值下降 3dB。
  - 当 $ω ≫ ω_{c}$ 时：增益以 20dB/dec（每十倍频下降20分贝）的斜率减小。
- 相频特性 $ϕ (ω)$
  
  表示输出信号相对于输入信号的相位滞后：
  
  $ϕ (ω) = - π - arctan (\frac{ω}{ω _{c}})$
  - 其中的 $- π$ （或 $- 18 0^{\circ}$ ）是由反相放大电路引起的。
特性总结与优缺点
- 幅频特性曲线（波特图）
  - 通带：在低频段，曲线平直，增益为 $20 l g ∣ G_{0} ∣$ 。
  - 过渡带：经过截止频率 $ω_{c}$ 后，曲线线性下跌。
- 缺点
  
  阻带特性衰减太慢：一阶滤波器的衰减斜率仅为 -20dB/dec。对于需要快速滤除邻近干扰信号的场合，其选择性较差（通常需要二阶或更高阶的滤波器来解决）。

二阶低通滤波器#

通用模型#

二阶低通滤波器通常由运算放大器、电阻和电容组成。如图展示的是典型的 压控电压源型（VCVS） 或 Sallen-Key 结构。

电路图
零频增益（同相比例放大倍数）：

$G_{0} = 1 + \frac{R _{f}}{R}$
电路节点分析：

通过对节点 A 和节点 B 应用基尔霍夫电流定律（KCL），可以推导出电路的传递函数。本质上，该电路是一个以 $* u_{B} *$ （或 $* u_{A} *$ ）为输入的同向放大器。

传递函数#

一般导纳形式

若用导纳 Y 表示电路元件，其通用传递函数为：

$G (s) = \frac{U _{o} ( s )}{U _{i} ( s )} = \frac{G _{0} Y _{1} Y _{2}}{Y _{1} Y _{2} + Y _{4} ( Y _{1} + Y _{2} + Y _{3} ) + Y _{2} Y _{3} ( 1 - G _{0} )}$

低通滤波器的元件选择#

为了构成低通特性，元件选择如下：

电阻： $Y_{1} = \frac{1}{R _{1}}$ ， $Y_{2} = \frac{1}{R _{2}}$
电容： $* Y_{3} = s C_{1} *$ ， $* Y_{4} = s C_{2} *$

标准形式#

代入元件参数后，二阶低通滤波器的标准传递函数为：

$G (s) = \frac{G _{0} ω _{n}^{2}}{s ^{2} + ξ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}$

关键性能参数#

参数名称	符号	公式
自然角频率	$* ω_{n} *$	$ω_{n} = \frac{1}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}}$
阻尼系数	$* ξ *$	$ξ = \frac{R _{2} C _{2}}{R _{1} C _{1}} + \frac{R _{1} C _{2}}{R _{2} C _{1}} - (G_{0} - 1) \frac{R _{1} C _{1}}{R _{2} C _{2}}$

设计简化计算#

在实际工程设计中，常采用等值元件来简化计算：

情况 1：选 $* C_{1} = C_{2} = C *$

$ω_{n} = \frac{1}{C R _{1} R _{2}}, ξ = \frac{R _{2}}{R _{1}} + \frac{R _{1}}{R _{2}} - (G_{0} - 1) \frac{R _{1}}{R _{2}}$
情况 2：选 $* C_{1} = C_{2} = C *$ 且 $* R_{1} = R_{2} = R *$ （最常用）

$ω_{n} = \frac{1}{RC}, ξ = 3 - G_{0}$
频率归一化：

采用归一化频率 $* s_{λ} *$ 后，传递函数可简化为：

$G (s_{λ}) = \frac{G _{m}}{s _{λ}^{2} + ξ s _{λ} + 1}$

幅频特性与滤波性能#

衰减速度： 二阶低通滤波器的阻带衰减速率为 40dB/10oct（即每十倍频程衰减 40dB），克服了一阶滤波器衰减太慢的缺点。
阻尼系数 ξ 的影响：
- $* ξ *$ 的大小决定了幅频特性是否有峰值（谐振峰）。
- 当 ξ = 1.414（巴特沃斯响应）时，幅频特性最平坦。
- 当 ξ < 1.414 时，会出现峰值；ξ 越小，峰值越高。

高通滤波器#

一阶高通滤波器#

1. 基本定义与电路构成#

构成原理：一阶高通滤波器包含一个 RC 电路。将一阶低通滤波器中的电阻 R 与电容 C 进行串联在输入端，即可构成一阶高通滤波器。低频时（特别是直流），电容的阻抗无穷大，相当于断路。信号根本进不来，只有频率足够高、电容阻抗足够小时，信号才能进入运放放大。所以低频被阻挡，只有高频能通过 。
电路拓扑（对应图 6-3-1）：
- 采用反相输入比例运算电路结构。
- 输入端：电阻 $* R_{1} *$ 与电容 $* C_{1} *$ 串联。
- 反馈端：反馈电阻 $* R_{f} *$
- 同相端：平衡电阻 $* R_{p} *$

2. 传递函数（s 域模型）#

其传递函数 $* G (s) *$ 推导如下：

$G (s) = \frac{U _{o} ( s )}{U _{i} ( s )} = - \frac{R _{f}}{R _{1} + \frac{1}{s C _{1}}} = \frac{G _{0}}{1 + \frac{ω _{c}}{s}}$

其中关键参数为：

通带增益 $* G_{0} *$ ： $G_{0} = - \frac{R _{f}}{R _{1}}$ （负号表示反相）
截止角频率 $* ω_{c} *$ ： $ω_{c} = \frac{1}{R _{1} C _{1}}$

3. 频率特性#

通过将 $* s *$ 替换为 $* jω *$ ，得到频率特性表达式：

复频率特性

$G (jω) = \frac{G _{0}}{1 - j \frac{ω _{c}}{ω}}$
幅频特性

表示增益与频率的关系：

$G (ω) = \frac{∣ G _{0} ∣}{1 + ( \frac{ω _{c}}{ω} ) ^{2}}$
- 特征：当 $* ω ≫ ω_{c} *$ 时，增益趋于 $* G_{0} *$ ；当 $* ω = ω_{c} *$ 时，增益下降为通带增益的 $\frac{1}{2}$ （即下降 3dB）。
相频特性

表示输出信号与输入信号的相位差：

$ϕ (ω) = - π + arctan (\frac{ω _{c}}{ω})$

4. 特点总结#

优点：结构简单，能有效通过高频信号。
缺点：阻带特性衰减太慢。作为一阶滤波器，其在截止频率以下的衰减速率仅为 20dB/dec，对于需要快速切断低频干扰的场合，滤波效果有限。

二阶高通滤波器#

1. 电路结构与基本组成#

电路图

该电路为压控电压源型二阶有源高通滤波器。

通带增益 $* G_{0} *$ ：由同相比例放大电路决定，公式为：

$G_{0} = 1 + \frac{R _{f}}{R}$
导纳选择： 为了构成高通滤波器，各元件的复导纳 Y 选择如下：
- $* Y_{1} = s C_{1} *$
- $* Y_{2} = s C_{2} *$
- $Y_{3} = \frac{1}{R _{1}}$
- $Y_{4} = \frac{1}{R _{2}}$

2. 传递函数#

通用表达式

基于导纳的通用传递函数为：

$G (s) = \frac{U _{o} ( s )}{U _{i} ( s )} = \frac{G _{0} Y _{1} Y _{2}}{Y _{1} Y _{2} + Y _{4} ( Y _{1} + Y _{2} + Y _{3} ) + Y _{2} Y _{3} ( 1 - G _{0} )}$
二阶高通标准形式

代入具体元件值后，标准形式为：

$G (s) = \frac{G _{0} s ^{2}}{s ^{2} + ξ ω _{n} s + ω _{n}^{2}}$

3. 关键性能参数#

根据电路元件值，可以确定以下参数：

自然角频率 $* ω_{n} *$ ：

$ω_{n} = \frac{1}{R _{1} R _{2} C _{1} C _{2}}$
阻尼系数 $* ξ *$ ：

$ξ = \frac{R _{2} C _{2}}{R _{1} C _{1}} + \frac{R _{1} C _{2}}{R _{2} C _{1}} - (G_{0} - 1) \frac{R _{1} C _{1}}{R _{2} C _{2}}$

4. 参数简化计算#

在实际工程设计中，常通过令元件值相等来简化计算：

情况一：选定 $* C_{1} = C_{2} = C *$
- 角频率： $ω_{n} = \frac{1}{C R _{1} R _{2}}$
- 阻尼系数： $ξ = \frac{R _{2}}{R _{1}} + \frac{R _{1}}{R _{2}} - (G_{0} - 1) \frac{R _{1}}{R _{2}}$
情况二：选定 $* C_{1} = C_{2} = C *$ 且 $* R_{1} = R_{2} = R *$
- 角频率： $ω_{n} = \frac{1}{RC}$
- 阻尼系数： $* ξ = 3 - G_{0} *$
  
  注意：此时为了保证系统稳定且不产生严重自激振荡，通常要求 $G_{0} < 3$

5. 频率归一化与幅频特性#

频率归一化

采用归一化频率 $s_{λ} = \frac{s}{ω _{n}}$ ，传递函数可写为：

$G (s_{λ}) = \frac{G _{m} s _{λ}^{2}}{s _{λ}^{2} + ξ s _{λ} + 1}$
幅频特性曲线图要点
- 低频段（阻带）： 斜率为 40dB/10oct（或 40dB/dec），体现了二阶滤波器的陡峭度。
- 转折频率： 在 $* ω / ω_{0} = 1 *$ 附近。
- 高频段（通带）： 增益趋于稳定值 $20 l g ∣ G_{0} ∣$
- 峰值现象： 当阻尼系数 ξ 较小时，在截止频率附近会出现明显的增益峰值。

风过无痕

第6章 集成有源滤波器#