1. 电路构成与基本原理#

负阻抗变换器主要由集成运放、反馈电阻和负载阻抗 $Z$ 组成。

• 电路结构：

  • 输入电压 $\ast {\dot{U}}_i\ast$ 加在运放的同相输入端（+）。

  • 反相输入端（-）通过电阻$\ast R_2\ast$ 连接到输出端，并通过负载阻抗 $\ast Z\ast$ 接地。

  • 输出端通过电阻 $\ast R_1\ast$ 反馈回输入端（形成正反馈路径）。

    

• 电压关系：

  若去掉 $\ast R_1\ast$，电路本质是一个同相放大器。其输出电压为：

  ${\dot{U}}_o={\dot{U}}_i\left(1+\frac{R_2}{Z}\right)\dots (4\text{-}1\text{-}1)$

• 输入电流：

  接入电阻 $\ast R_1\ast$ 后，由输入电压引起的输入电流 ${\dot{I}}_i$ 为：

  ${\dot{I}}_i={\dot{I}}_1=\frac{{\dot{U}}_i-{\dot{U}}_o}{R_1}\dots (4\text{-}1\text{-}2)$

2. 等效输入阻抗推导#

将公式 (4-1-1) 代入 (4-1-2)，可以推导出该电路从输入端看进去的等效输入阻抗 $\ast Z_{ie}\ast$：

$Z_{ie}=\frac{{\dot{U}}_i}{{\dot{I}}_i}=-\frac{Z{R}_1}{R_2}$

结论：

1. 比例变换：负载阻抗 $Z$ 被按 $\ast R_1/R_2\ast$ 的比例进行了缩放。
2. 性质反转：阻抗的特性由正变负。因此，该电路被称为负阻抗变换器。

1. 电路组成与工作原理#

• 运放 $A_1$：同相放大器，起到隔离和放大的作用。其输出电压为：

  ${\dot{U}}_{o1}={\dot{U}}_i\left(1+\frac{Z_2}{Z_1}\right)$

• 运放 $\ast A_2\ast$：根据叠加定理，其输出电压为：

  ${\dot{U}}_{o2}={\dot{U}}_i\left(1+\frac{Z_4}{Z_3}\right)-{\dot{U}}_{o1}\frac{Z_4}{Z_3}$

• 最终输出电压（联立上两式）：

  ${\dot{U}}_{o2}={\dot{U}}_i\left(1-\frac{Z_2{Z}_4}{Z_1{Z}_3}\right)$

2. 等效输入阻抗公式#

输入电流 $\ast {\dot{I}}_i\ast$仅流经 $Z_5$，其表达式为：

${\dot{I}}_i={\dot{I}}_5=\frac{{\dot{U}}_i-{\dot{U}}_{o2}}{Z_5}$

代入 $\ast {\dot{U}}_{o2}\ast$ 后，得到电路的等效输入阻抗 $\ast Z_{ie}\ast$ 通式：

$Z_{ie}=\frac{{\dot{U}}_i}{{\dot{I}}_i}=\frac{Z_1{Z}_3{Z}_5}{Z_2{Z}_4}$

通过选择不同性质的元件（电阻或电容）替代 $\ast Z_1{Z}_5\ast$，可以实现以下功能：

1. 模拟对地电感#

• 元件配置：$\ast Z_1,Z_2,Z_3,Z_5\ast$ 取电阻（$\ast R_1,R_2,R_3,R_5\ast$），$\ast Z_4\ast$ 取电阻 $\ast R_4\ast$ 与电容 $\ast C_4\ast$ 的并联阻抗。
• 标准电感阻抗的形式：$Z_L=j\omega L$

  • 等效阻抗：

    $Z_{ie}=\frac{R_1{R}_3{R}_5}{R_2{R}_4}+j\omega \frac{C_4{R}_1{R}_3{R}_5}{R_2}$

  • 特性提取：

    • 等效电感：$L_e=\frac{C_4{R}_1{R}_3{R}_5}{R_2}$
    • 等效内阻(不属于电感的部分)：$R_e=\frac{R_1{R}_3{R}_5}{R_2{R}_4}$
• 结论：调节 $\ast R_1,R_3,R_5\ast$ 中的任一个，可线性调节电感量。增大 $\ast R_4\ast$ ，可获得低内阻的等效电感。

2. 模拟对地电容#

• 元件配置：$\ast Z_1,Z_2,Z_4,Z_5取电阻（R_1,R_2,R_4,R_5），Z_3取电容C_3\ast$

• 标准电容阻抗的形式:$\frac{1}{j\omega C_e}$

  • 等效阻抗：

    $Z_{ie}={\left(j\omega \frac{C_3{R}_2{R}_4}{R_1{R}_5}\right)}^{-1}$

  • 等效电容：

    $C_e=\frac{C_3{R}_2{R}_4}{R_1{R}_5}$

• 结论：调节 $\ast R_2\ast$, $\ast R_4\ast$ 中的任一个电阻，即可线性调节等效电容量的大小。

3. 模拟对地负阻抗#

• 元件配置：$\ast Z_1,Z_3\ast$ 取电容（$\ast C_1,C_3\ast$），$\ast Z_2,Z_4\ast$ 取电阻（$\ast R_2,R_4\ast$），$\ast Z_5\ast$ 为任一阻抗。

• 等效阻抗：

  $Z_{ie}=-\frac{Z_5}{{\omega }^2{C}_1{C}_3{R}_2{R}_4}$

• 结论：这是一个负阻抗变换器，其等效阻抗随频率 ω 的平方变化（呈现频变负电阻特性，常用于有源滤波器设计）。