空间电荷区的形成：#

P区与N区接触后，由于浓度差，结面附近的空穴将从浓度高的P区向浓度低的N区扩散，在P区留下不易扩散的带负电的电离受主杂质，使得在结面的P区一侧出现负的空间电荷区，同样的N区一侧出现正的空间电荷，由此产生的空穴与电子的扩散电流的方向都是由P指向N，扩散运动使得结面两侧出现一正一负的空间电荷区。（空间电荷区中的电场称为内建电场）

内建电场，内建电势与耗尽区宽度(都以突变结为例)#

• 耗尽近似：

  假设空间电荷区内的载流子完全扩散掉，即完全耗尽，空间电荷完全由电离杂质提供。这时空间电荷区又可称为“耗尽区”。

• 中性近似：

  假设耗尽区以外多子浓度等于电离杂质浓度 ，因而保持电中性。这时这部分区域又可称为“中性区”。

• 内建电场：

  • N区：$E(x)=\frac{q}{{\epsilon }_s}(x-x_n)N_D$（$0\le x<x_n$）
  • P区：$E(x)=-\frac{q}{{\epsilon }_s}(x+x_p)N_A$（$-x_p\le x\le 0$）

  

• 内建电势：

  平衡态的内建电势(对应内建电场)：$V_{bi}=\frac{kT}{q}\ln \frac{N_A{N}_D}{n_i^2}$

• 耗尽层宽度：(注意电荷中性条件：$x_n{N}_D=x_p{N}_A$，这意味着掺杂浓度越高的地方，耗尽层越窄)

  • N区耗尽区宽度：$x_n=\frac{{\epsilon }_s}{q{N}_D}|E{|}_{max}={\left[\frac{2{\epsilon }_s}{q}\frac{N_A}{N_D(N_A+N_D)}{V}_{bi}\right]}^{1/2}$

  • P区耗尽区宽度：$x_p=\frac{{\epsilon }_s}{q{N}_A}|E{|}_{max}={\left[\frac{2{\epsilon }_s}{q}\frac{N_D}{N_A(N_A+N_D)}{V}_{bi}\right]}^{1/2}$

  • 耗尽区总宽度：$x_d=x_n+x_p=\frac{2V_{bi}}{|E{|}_{max}}={\left[\frac{2{\epsilon }_s}{q{N}_0}{V}_{bi}\right]}^{1/2}$

  • 约化浓度(等于轻掺杂浓度)：$N_0=\frac{N_A{N}_D}{N_A+N_D}$

    这决定了PN结的物理特性通常由轻掺杂的一侧决定。

  • 最大电场强度：$|E{|}_{max}=\frac{q}{{\epsilon }_s}{x}_n{N}_D=\frac{q}{{\epsilon }_s}{x}_p{N}_A=\sqrt{\frac{2q{N}_0{V}_{bi}}{{\epsilon }_s}}$

    发生在 $x=0$ 结面处的最大电场,可以用算出来的 $|E{|}_{max}$ 确定是否超过了材料的临界击穿场强。

PN结类型：#

• 突变结：在理想突变结中，P型区与N型区的掺杂浓度是均匀分布的，杂质浓度在结面处(x=0)会发生阶跃式的突变

  

  • 单边突变结：当突变结某一侧掺杂浓度远大于另一侧时，称为单边突变结，耗尽区主要分布在低掺杂的一侧，耗尽区宽度与最大电场强度也主要取决于低掺杂一侧的掺杂浓度，低掺杂一侧的掺杂浓度越低，耗尽区越宽，最大电场强度越小，内建电势越小

• 线性缓变结：用杂质扩散法制得的PN结，在P区与N区交界处的杂质浓度不是突然地从均匀的受主浓度突变到均匀的施主浓度，而是均匀变化的，称为缓变结。在一定条件下，假设冶金结附近的杂质浓度是随距离进行线性变化的，称为线性缓变结

  

平衡 PN 结的能带图：#

已知突变结耗尽区内的电场分布 $E(x)$ 后，对 $E(x)$ 作一次积分就可以求出耗尽区内的电位分布 $\psi (x)$ 以及电子的电位能分布 $[-q\psi (x)]$。

在平衡状态下，PN 结能带图中的费米能级 $E_F$ 是水平的，而耗尽区中的导带底 $E_C$、价带顶 $E_V$ 与本征费米能级 $E_i$ 则均与电子电位能分布 $[-q\psi (x)]$ 有相同的形状，因此平衡 PN 结的能带图如下图所示。

**费米能级：**在平衡状态时，存在统一的费米能级$E_F$，即电子和空穴有相同的费米能级，并且费米能级在半导体中处处相等。

• 能带图

  

• 下面讨论载流子的浓度分布及电势

  以$\psi (x_n)=0$为参考系，则：

  • P区：
    • 在$x=-x_p$处的电势：$\psi (-x_p)=-V_{bi}$
    • 在P区边界处的电子(少子)浓度：$n(-x_p)=n_{p0}=n_{n0}\cdot e^{-\frac{q{V}_{bi}}{kT}}$
    • 在P区边界处的空穴(多子)浓度：$p(-x_p)=p_{p0}$
  • N区：

    • 在$x=x_n$处的电势：$\psi (x_n)=0$

    • 在N区边界处的空穴(少子)浓度：$p(x_n)=p_{n0}=p_{p0}\cdot e^{-\frac{q{V}_{bi}}{kT}}$

      含义：在热平衡状态下，N区的中性区边界（$x_n$）处的空穴浓度，就等于N区的平衡少子浓度（$p_{n0}$）

      原因：耗尽层之外就是中性区，中性区的载流子浓度由掺杂决定，处于热平衡定值 $p_{n0}=n_i^2/N_D$

    • 在N区边界处的电子(多子)浓度：$n(x_n)=n_{n0}$

      原因：在中性区里，必须遵守“电荷中性条件”，因为在N区中，我们知道平衡载流子浓度 $n_{n0}\approx N_D$，所以在边界 $x_n$ 处，多子浓度 $n(x_n)$ 被强制锚定在 $n_{n0}$

  若某突变PN结的P型区的掺杂浓度为$N_A$，则室温下该区的平衡多子浓度$P_{p0}$与平衡少子浓度$n_{p0}$分别为多少？

  室温下，假设半导体材料为非简并且受主完全电离，同时满足$\ast N_A$* ≫ $\ast n_i\ast$(其中$\ast n_i\ast$为室温下的本征载流子浓度)，则平衡载流子浓度可近似如下：

  • 平衡多子浓度（空穴浓度）$\ast p_{p0}\ast$ ：

    在P型半导体中，多数载流子为空穴。由于受主完全电离，且 $\ast N_A\ast$ 远大于本征载流子浓度 $\ast n_i\ast$ ，平衡空穴浓度近似等于受主浓度，即：

    $p_{p0}=N_A$

  • 平衡少子浓度（电子浓度）$\ast n_{p0}\ast$ ：

    在热平衡状态下，载流子浓度满足质量作用定律：$\ast n_p\cdot p_p=n_i^2\ast$ 。对于P型区，有 $\ast n_{p0}\cdot p_{p0}=n_i^2\ast$ 。代入 $p_{p0}=N_A$ ，得：$\ast n_{p0}=n_i^2/N_A\ast$

外加电压及影响#

**准费米能级：**在非平衡情况下，不存在统一的费米能级，但是同一种粒子在同一地点的能量分布仍与费米分布函数形式相同。所以引入准费米能级的概念来描述非平衡状态的载流子浓度分布。一般设E_{Fp}$$E_{Fn}分别为空穴和电子的准费米能级，且均可随$E_{Fn}(x)-E_{Fp}(x)=qV$而变化。推导得出，耗尽区中两种准费米能级之差为$E_{F}n(x)-E_{F}p(x)=qV$

• 正向电压(正向偏置)：

  • 电场：若外加正向电压增大，则最大电场强度降低，$X_n$与$X_p$变小，斜率不变(斜率与浓度有关)

    • 外加电压与内建电场方向相反，削弱内建电场，让电流更容易通过(势垒变低，耗尽层变窄)，新的总势垒高度 = $V_{bi}-V$

      

  • 能带图：外加正向电压使势垒区高度比平衡时的低

    外加电压降低了PN结的势垒高度，使得多数载流子能够大量注入对方区域。这些注入的载流子在对方区域形成高浓度的少数载流子，并通过扩散运动形成电流。由于多数载流子浓度高，电荷来源丰富，因此正向电流很大。

    $E_{\text{Fn}}-E_{\text{Fp}}=qV$

    这个差值就是势垒高度比平衡时增高的数值

    

• 反向电压(反向偏置)：

  • 电场：若外加反向电压增大，则最大电场强度增大，$X_n$与$X_p$增大，斜率不变

    • 外加电压与内建电场方向相同，加强了电场，阻挡电流(势垒变高，耗尽层变宽)。新的总势垒高度 = $V_{bi}+V$

      

  • 能带图：外加反向电压使势垒高度比平衡时的高

    外加电压增高了PN结的势垒高度，多数载流子被阻挡，难以越过势垒。此时电流主要由少数载流子的漂移运动贡献。这些少数载流子由热激发产生，其平衡浓度极低，因此电荷来源稀少，导致反向电流很小，且趋于饱和。

    $E_{\text{Fn}}-E_{\text{Fp}}=qV$

    这个差值就是势垒高度比平衡时增高的数值

    

外加电压引起小注入情况下的分析(大多数情况)#

小注入条件：注入某区边界附近的非平衡少子浓度(目前的少子浓度减去已经平衡的少子的浓度，当**注入速率=复合速率**，此时达到动态平衡)，远小于该区的平衡多子浓度。对于少子，正偏时通常可以忽略平衡少子；对于多子，小注入时可以忽略非平衡多子。

• 势垒区的产生/复合电流

  • 势垒区的边界处的少子浓度(结定律)(注意正向电压时只适用于小注入)：

    (正向电压时，V是正的，反向电压时，V是负的)

    • N区与势垒区边界处的少子浓度(正向电压)：

      $p_n(x_n)=p_{p0}\exp \left(-\frac{q{V}_{\text{bi}}}{kT}\right)\exp \left(\frac{qV}{kT}\right)=p_{n0}{e}^{qV/kT}$

      原因：在平衡时，N型区与耗尽区的边界处即$x_n$处的空穴浓度为$p_{n0}=p_{p0}\exp (-\frac{q{V}_{bi}}{kT})$

      而在外加正向电压V的小注入情况下：

      1. $V_{\text{bi}}\to (V_{\text{bi}}-V)$
      2. $p_{\text{n0}}\to p_{\text{n}}$($p_n$指的是非平衡态的时的$n$区的空穴浓度，因为平衡态少子普遍小于非平衡态少子，所以这里的空穴浓度基本就是激发的非平衡少子)
      3. $p_{\text{p0}}\to p_{\text{p}}\approx p_{\text{p0}}$(平衡态多子远大于非平衡态多子)

    • P区与势垒区边界处的少子浓度(正向电压)：

      同理得出：$n_p(-x_p)=n_{p0}{e}^{qV/kT}$

  • 产生/复合电流密度

    理想肖克利方程假设电子和空穴飞快地穿过势垒区，互不理睬，直到进入中性区才复合。但实际上，势垒区里也有电子和空穴，它们也会在半路上发生反应。当正向电压时，在势垒区发生复合形成的电流，就是复合电流；当反向电压时，在势垒区产生的电子-空穴对形成的电流，就是产生电流

    • 当$V=0$ 时，$J_{gr}=0$
    • 当外加正向电压，且$V\gg kT/q$时：$J_r=\frac{q{n}_i{x}_d}{2\tau }{e}^{\frac{qV}{2kT}}$
    • 当外加反向电压，且$|V|\gg kT/q$时：$J_g=-\frac{q{n}_i{x}_d}{2\tau }$

• 中性区的扩散电流

  • 中性区非平衡载流子浓度(在”小注入”情况下，非平衡载流子指的就是非平衡少子，一般忽略非平衡多子的变化，我们这里以非平衡少子空穴为例，讨论PN结在外加电压后的变化)

    $D_p$ / $D_n$：扩散系数

    $L_p$ / $L_n$：这是 扩散长度

    $L_p=\sqrt{D_p\cdot {\tau }_p}$

    (正向电压时，V是正的，反向电压时，V是负的)

    • N区中性区宽度足够厚 ($W\gg L_p$):

      $\Delta p_n(x)=p_{n0}(e^{\frac{qV}{kT}}-1)(e^{-\frac{x-x_n}{L_p}})$

      外加正向电压时，在中性区足够厚时的PN结中的少子分布图：

      衰减的特征长度就是空穴的扩散长度 $\ast L_p$ .*每经过一个 $\ast L_p\ast$ 的长度，非平衡空穴浓度降为 $1/e$

      

      外加反向电压时PN结中的少子分布图:

      N 区中势垒区附近的少子空穴全部被势垒区中的强大电场拉向 P 区， 所以空穴浓度在势垒区边界处最低，随距离作指数式增加，在足够远处恢复为平衡少子浓度。减少的空穴由 N 区内部通过热激发产生并扩散过来补充

      

    • N区中性区宽度足够薄(即薄基区二极管)($W\ll L_p$)：

      $\Delta p_n(x)\approx p_{n0}(e^{\frac{qV}{kT}}-1)\cdot (1-\frac{x}{W})$

      外加正向电压，中性区足够薄的PN结的少子分布图：

      

      外加反向电压时PN结中的少子分布图:

      

  • 扩散电流密度

    • 扩散电流密度公式：

      $J_d=J_{dn}+J_{dp}=J_0\left[e^{\frac{qV}{kT}}-1\right]$

      $J_d$：总扩散电流密度

      $J_{dn}$、$J_{dp}$：分别为电子和空穴的扩散电流密度

      $J_0$：反向饱和电流密度

      其中：$J_0=q\left(\frac{D_p}{L_p}{p}_{n0}+\frac{D_n}{L_n}{n}_{p0}\right)=q{n}_i^2\left(\frac{D_p}{L_p{N}_D}+\frac{D_n}{L_n{N}_A}\right)$

      反向饱和电流密度

      与半导体材料种类的关系：($E_g$ 越大，$J_0$ 越小)

      反比于 掺杂浓度 ($N_A,N_D$) (即反比于多数载流子浓度，正比于平衡少子浓度)

      正比于 温度 (温度升高，$J_0$ 指数级增大)

    • 特殊情况：

      • 当 $V=0$ 时：

        $J_d=0$(处于热平衡状态，无净电流)

      • 当外加正向电压且 $V\gg kT/q$ 时：

        $J_d\approx J_0{e}^{\frac{qV}{kT}}$(括号内的 $-1$ 被忽略，电流随电压指数增长)

      • 当外加反向电压且 $|V|\gg kT/q$ 时：

        $J_d\approx -J_0$(指数项趋近于0，电流趋于饱和，方向为负)

• 产生/复合电流和扩散电流的比较

  • 温度一定，当外加正向电压时：

    • 正向电压越小，则比值$J_d$/$J_r$越小，总的正向电流中，势垒区复合电流$J_r$的比例越大

    • 正向电压越大，则比值$J_d$/$J_r$越大，总的正向电流中，中性区扩散电流$J_d$的比例越大

    • 在$\ln I\sim V$特性曲线中：

      1. 当以$J_r$为主时：斜率为$q/2kT$
      2. 当以$J_d$为主时：斜率为$q/kT$

      

  在PN结的正向电流中，当电压较低时，以____电流为主；当电压较高时，以____电流为主？ 在PN结的正向偏置下，电流成分随电压变化而变化： 当电压较低时:电流主要由耗尽区内载流子的复合过程贡献，称为复合电流。这是因为低电压下注入的载流子浓度较低，复合机制（与$e^{qv/2kT}$成正比）占主导。 当电压较高时:电流主要由多数载流子注入和少数载流子扩散贡献(当正向偏置电压较高时，PN结的势垒高度显著降低（势垒降低量约为 *qV* ，其中 *q* 为电子电荷，*V* 为外加电压）。这使得P区的多数载流子（空穴）更容易越过势垒注入到N区，同时N区的多数载流子（电子）注入到P区。这一过程称为**载流子注入**。再之后：注入到N区的空穴成为N区的少数载流子（因为N区多数载流子是电子），注入到P区的电子成为P区的少数载流子（因为P区多数载流子是空穴）。由于结附近少数载流子浓度远高于中性区内部（形成浓度梯度），这些注入的少数载流子会向中性区内部**扩散**。扩散过程中，少数载流子与多数载流子复合，形成**扩散电流**。这时的扩散电流的大小就远大于复合电流了)，称为扩散电流。这是因为高电压下载流子注入增强，扩散机制（与$e^{qV/kT}$成正比）快速增长并成为主导。

  • 温度一定，当外加反向电压时：

    • 反向扩散电流为反向饱和电流$J_0$，它不随反向电压变化

      (对于硅PN结，在室温下以势垒区的产生电流为主，只有在很高的温度下才以反向扩散电流为主)

• 正向导通电压

  • 由于反向饱和电流 $\ast I_0\ast$ 的值极小，当正向电压较低时，正向电流很小，PN 结似乎未导通。只有当正向电压达到一定值时，才出现明显的正向电流。将正向电流达到某规定值（例如几百微安到几毫安）时的正向电压称为 正向导通电压，记作 $\ast V_F$。*

    对 $\ast V_F\ast$ 影响最大的因素是 $\ast E_G\ast$

    

外加电压引起大注入情况下的分析#

大注入条件：指某区边界附近的非平衡少子浓度远大于该区的平衡多子浓度

• 势垒区边界处少子浓度

  (正向电压时，V是正的，反向电压时，V是负的)

  • N区与势垒区边界处少子浓度：

    $p_n(x_n)=n_i{e}^{\frac{qV}{2kT}}$

  • P区与势垒区边界处少子浓度：

    $n_p(-x_p)=n_i{e}^{\frac{qV}{2kT}}$

• 大注入下的电流密度

  • N区发生大注入时，空穴电流密度与外加电压关系：

    $J_p=\frac{\sqrt{2}q{D}_p{n}_i}{L_p}{e}^{\left(\frac{qV}{2kT}\right)}$

  • P区发生大注入时电子电流密度与外加电压关系：

    $J_n=\frac{\sqrt{2}q{D}_n{n}_i}{L_n}{e}^{\left(\frac{qV}{2kT}\right)}$

转折电压(膝跳电压)#

• N区：$V=\frac{2kT}{q}\ln \left(\frac{N_D}{n_i}\right)$
• P区：$V=\frac{2kT}{q}\ln \left(\frac{N_A}{n_i}\right)$

击穿的情况及机理#

• 电击穿
  • 雪崩击穿：
    • 禁带宽度 $\ast E_G\ast$ 越大，则击穿电压 $\ast V_B\ast$ 越高；约化杂质浓度 $\ast N_0\ast$ 越低，$\ast V_B\ast$ 越高
    • 雪崩击穿电压具有正温系数，即温度 $\ast T$* 上升时，$\ast V_B\ast$ 增大。
    • 提高雪崩击穿电压的措施：
      • 掺杂浓度要低，浓度梯度要小
      • 低掺杂区的厚度要足够厚
  • 齐纳击穿：
    • 由于电子具有波动性，可以有一定的几率穿过势垒。势垒越薄，隧道效应就越明显。
• 热击穿

PN结在较小偏压下的反向电流由电子扩散电流、空穴扩散电流和产生电流三部分组成。 详细解释： • **电子扩散电流：**来源于P区中的少数载流子（电子）。在反向偏压下，P区的电子扩散至耗尽区边缘，被强电场扫入N区形成电流。 • 空穴扩散电流：来源于N区中的少数载流子（空穴）。N区的空穴扩散至耗尽区边缘，被电场扫入P区形成电流。 •产生电流：由耗尽区内热激发产生的电子-空穴对引起。在反向偏压下，耗尽区电场将电子拉向N区、空穴拉向P区，形成净电流。

当PN结的**反向偏压增大至击穿电压时，反向电流会急剧增大**（通常呈指数级增长），此时电流机制发生本质变化。击穿后的反向电流主要由雪崩倍增电流和齐纳隧穿电流主导，而未击穿时的三部分电流（电子扩散、空穴扩散、产生电流）依然存在但可忽略不计。 雪崩倍增电流的形成条件是：中等掺杂浓度的PN结。因为在掺杂浓度没有非常大的时候，耗尽区宽度较大(由**空间电荷平衡原理**决定：耗尽区内正负电荷总量必须相等(*P侧总负电荷 = N侧总正电荷*)，所以杂质离子密度较低 → 需要**更大的空间体积**才能积累足够的电荷)，此时耗尽区宽度较大，则电子和空穴有足够的距离进行加速，能够加速到碰撞电离所需的能量，然后相互碰撞，形成新的电子-空穴对。 同理齐纳隧穿电流的形成条件是：重掺杂的PN结 。因为掺杂浓度很大的时候，耗尽区宽度极窄，并且内建电场 + 外加反向偏压电场的叠加场的电场强度很大，使能带弯曲，使得价带电子通过量子隧穿效应直接穿过禁带进入导带，形成很大的反向电流。

• 半导体符号规则：

  • $P^{+}{N}^{+}$+ → 重掺杂（heavy doping）
  • $P^{-}{N}^{-}$ → 轻掺杂（lightly doping）
  • $PN$ → 中等掺杂（moderate doping）

  所以对于$P^{+}{N}^{+}$结，是属于重掺杂，击穿时是有齐纳击穿主导；对于$P^{+}{N}^{-}$，一侧是重掺杂，一侧是轻掺杂，则耗尽区会靠近轻掺杂的一侧，且宽度较宽，此时击穿的主导击穿机制是雪崩击穿

注意我们使用PN结，就是为了PN结的正向导通反向截至的特性，所以一般讨论的击穿都是在电场强度过大，导致反向电流激增的情况。但是有的器件也是特意涉及在这种齐纳或者雪崩击穿的区间。所以具体还是要看器件的设计目的。

形成势垒电容$C_T$(弱正偏或反偏的情况下)#

• 势垒电容的定义：当外加电压发生ΔV的变化时，空间电荷区宽度发生变化，会使空间电荷区发生+ΔQ与-ΔQ的变化(空间电荷区内存储的是不能移动的电离杂质离子)。这是由于多子进入或离开空间电荷区引起的，或者说是多子电流对空间电荷区充放电的结果
• 特点/性质：
  • 存储电荷的本质：空间电荷区内的电离杂质离子
  • 反偏电压增大，耗尽区宽度变宽；反偏电压减小，耗尽区宽度变窄
  • 充电（耗尽区变宽）： 需要把中性区边界的多子（P区的空穴、N区的电子）抽走，从而让更多的杂质离子裸露出来。多子向远离结的方向移动，离开交界面。
  • 放电（耗尽区变窄）： 需要多子流回空间电荷区的边界，去中和掉一部分裸露的杂质离子。
  • 尽管空间电荷区里剩下的是不动的离子，但控制这个区域大小、引起电荷量变化的是多子
• 势垒电容类型判断及计算
  • 突变结的势垒电容：$C_{\text{T}}=A{\left[\frac{{\epsilon }_{\text{s}}q{N}_0}{2(V_{\text{bi}}-V)}\right]}^{\frac{1}{2}}$

形成扩散电容$C_D$(正偏电压的情况下)#

不是很重要的重点，而且内容较难，战略性放弃