第一章-半导体电子状态#

• 名词解释

  1. 电子的共有化运动： 原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不完全局限在某一个原子上，它可以由一个原子转移到相邻的原子，进而在整个晶体里移动。(但电子在运动过程中并也不像自由电子那样，完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格原子势场的作用。)

  2. 单电子近似： 晶体内的电子是在，周期排列且固定不动的原子核势场，和其它大量电子的平均势场，组成的合势场中运动。该合势场也周期性变化，且其周期与晶格运动周期相同。

     补充：能带论的两个基本假设

     a.绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与质子的碰撞。

     b.平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。即假设每个电子所处的势场完全相同，电子的势能只与该电子的位置有关，而与其他电子的位置无关。

  3. 本征激发： 价带电子受激发成为导带电子的过程

  4. 准自由电子： 可近似看作自由电子，受周期性势场的微扰修正后，可推出能带结构

  5. 有效质量(具有质量量纲的比值)： 可以概括内部电场对电子的作用

     • 电子的有效质量

       $m_n^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{\frac{d^{2}E}{d{k}^2}}$

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       公式参数含义

       • $m_n^{\ast }$：电子的有效质量。它描述了在能带中运动的电子受晶格周期性势场作用后，表现出的“表观”质量。
       • $\hslash$：约化普朗克常数，即 $\hslash =h/2\pi$。
       • E：能量。
       • k：波矢。
       • $\frac{d^{2}E}{d{k}^2}$：能量 E 对波矢 k 的二阶导数，在物理上代表了 E-k 色散关系曲线的曲率。

       物理意义简述

       共有化运动越强（相互作用越强），能级分裂就越剧烈，形成的能带就越宽。能带宽就意味着在同样的 $k$ 空间范围内（第一布里渊区），能量 $E$ 变化范围大，曲线坡度陡，曲率（二次微商）大，对应的有效质量就小

       这也就说明了“外层电子跑得快（有效质量小），内层电子跑不动（有效质量大）”

       有效质量的意义

       • 意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。特别是$m_n^{\ast }$可以直接由实验测定(回旋共振实验)，因而可以很方便的解决电子的运动规律。

         • 回旋共振实验：

           硅（Si）的导电带底部并不是一个简单的圆球，而是 6 个对称分布的椭球（沿 $⟨100⟩$ 方向）

           磁场B沿着$[111]$ 方向，它到这 6 个椭球的距离/角度是完全对称的。电子看到的有效质量都一样，实验就只能看到 1 个吸收峰

           沿着$[110]$有2个吸收峰

           沿着$[100]$有2个吸收峰

           在其它任意方向有3个吸收峰

       能量和有效质量的关系

       • 价带关系图

         

       • 解释

         1. 第一幅图：能量与波矢的关系 (E-k)

         这是基础的能带色散关系图（通常取第一布里渊区 $-\pi /a$ 到 $\pi /a$）。

         • 形状：在底部（k=0 附近）类似抛物线。
         • 物理意义：描述了电子在晶体中不同量子态（由 k 决定）下所具有的能量。
         2. 第二幅图：速度与波矢的关系 (v-k)（半导体物理中不是很重要）

         电子的平均速度（群速度）公式为：$v=\frac{1}{\hslash }\frac{dE}{dk}$。

         • 求导关系：速度 v 正比于 E-k 曲线的斜率。
         • 关键点分析：
           • k=0（能带底部）：曲线最平缓，斜率为 0，所以速度 v=0。
           • k 增大时：斜率逐渐变大，速度也随之增加。
           • 拐点（Inflection Point）：在 E-k 曲线斜率最大的地方，速度达到最大值。
           • k = $\pm \pi /a$（布里渊区边界）：由于布拉格反射，电子形成驻波，斜率变为 0，速度再次回到 v=0。

         3. 第三幅图：有效质量与波矢的关系 ($m_n^{\ast }-k$)

         有效质量的公式：$m_n^{\ast }=\frac{{\hslash }^2}{d^{2}E/d{k}^2}$。

         • 求导关系：有效质量与 E-k 曲线的**曲率（二阶导数）**成反比。
         • 正有效质量（下半部分中心）：
           • 在能带底部（k=0 附近），E-k 曲线向上开口（像个碗），曲率为正，因此 $m_n^{\ast }$ 为正值。
           • 这代表电子的行为与自由电子类似。
         • 负有效质量（两边边缘）：
           • 当 k 靠近布里渊区边界（$\pm \pi /a$）时，E-k 曲线向下弯曲，曲变为负，因此 $m_n^{\ast }$ 变为负值。
           • 物理意义：这并不意味着质量真的变成了负数，而是因为电子受到了晶格势场的强烈散射。当你给电子施加一个向前的力时，晶格给它的反作用力更大，导致它的加速度方向与外力相反。在空穴物理中，能带顶部的负质量电子通常被等效处理为正质量的空穴。

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         核心总结表#

         位置	E−k 曲线特征	速度 v (一阶导)	有效质量 $m_n^{\ast }$ (二阶导)
         能带底 (k=0)	极小值点，曲率为正	0	正值（最小）
         拐点处	斜率最大	最大值	$\pm \infty$ (由于二阶导为0)
         能带顶 (边界)	极大值点，曲率为负	0	负值

  6. 施主杂质：释放电子，从而产生导电电子，并形成正电中心。 受主杂志：接收电子，从而产生导电空穴，并形成负电中心。

  7. 杂志的补偿作用： 施受主杂质之间有相互抵消的作用

  8. 满带、导带、价带、禁带:

     1. 满带是指能带中的所有量子态（能级）都被电子完全填满的能带。

     2. 满带的能量最高的能带称为价带

        价带的顶部能量记为$E_v$

     3. 能量高于价带的、在绝对零度(没有热辐射)时通常为空的（或部分填充的）能带称为导带

        导带的底部能量记为 $E_c$

     4. 价带顶（$E_v$）与导带底（$E_c$）之间的能量间隔称为禁带，也叫能隙

        在理想晶体中，电子不能存在于禁带的能量范围内。它是电子从价带跃迁到导带所必须跨越的能量障碍。

        绝缘体： $E_g$ 非常大（通常 $>5\text{ eV}$），电子极难越过。

        半导体： $E_g$ 较小（通常在 $0.1\sim 3\text{ eV}$ 之间，如硅 $E_g\approx 1.12\text{ eV}$），受热或光照可导电。

        导体： 价带与导带重叠，或者导带本身就是半满的，$E_g=0$。

  9. 本征半导体：无杂质，无晶格缺陷的纯净半导体

  10. 空穴的概念：引入空穴的概念后，就可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来，既方便，又具有实际意义

  11. 直接带隙半导体，间接带隙半导体