第三章-半导体中载流子的统计分布#

热平衡状态：在一定温度下，如果没有其它外界的作用，半导体中的导电电子和空穴是依靠电子的热激发作用而产生的。只讨论电子来说，当温度升高时，电子吸收能量，就可能从低能量的量子态跃迁到高能量的量子态。例如1.电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴（这个过程是本征激发）；2.电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子（这个过程是杂质电离）。

当然也有相反的过程，即电子也可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并释放一定的能量。这个过程叫做载流子的复合。

当这两种相反的过程达到动态平衡的时候，就称为热平衡状态
状态密度：可以理解为能级密度，半导体的导带和价带中，有很多的能级存在，但相邻能级间隔很小，所以可以近似认为能级是连续的。所以可以认为在能带中能量 $E \sim (E + d E)$ 之间无限小的能量间隔内有 $d Z$ 个量子态，则状态密度 $g (E)$ 为： $g (E) = \frac{d Z}{d E}$
载流子的统计分布:分为费米分布和玻尔兹曼分布
费米分布函数： $f (E) = \frac{1}{1 + e x p ( \frac{E - E _{F}}{k _{0} T} )}$

在热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统计分布规律性(从体系来看:低能量态被占据的概率通常更大，高能量态也会被占据，但是概率更小)，即这时电子在不同能量的量子态上统计分布概率是一定的(只要温度 $T$ 和费米能级 $E_{F}$ 确定了，能量为 $E$ 的量子态被占据的概率就是确定的，注意是概率一定确定)。

对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率 $f (E)$ 为： $f (E) = \frac{1}{1 + e x p ( \frac{E - E _{F}}{k _{0} T} )}$

$f (E)$ 称为电子的费米分布函数，是在热平衡条件下，描述电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。

$E_{F}$ 称为费米能级或费米能量，它和温度、半导体材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。

费米能级 $E_{F}$ 是系统的化学势，是热力学系统的一个特征。而处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以处于热平衡状态的电子系统有统一的费米能级。

费米能级的位置直观的标志了电子占据量子态的情况，通常来说就是费米能级标志了电子填充能级的水平，费米能级位置较高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子

$k_{0} T$ 称为热能，其中玻尔兹曼常数 $k_{0}$ 是一个常数，其值为 $k_{0} \approx 8.62 \times 1 0^{- 5} eV/K$ 。所以热能的值通常取决于绝对温度T,一般都是指室温（300K）下的 $k_{0} T$ 值，此时 $k_{0} T \approx 0.026 eV$
玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布是费米分布的一个特例，是当 $E - E_{F} >> k_{0} T$ (此时的 $1$ 就可以忽略)的时候，此时原式可写作 $f_{B} (E) = exp (- \frac{E - E _{F}}{k _{0} T})$ ，量子态被电子占据的概率就很小，此时泡利原理失去作用。

玻尔兹曼分布只适用于非简并半导体，即掺杂浓度不太高、费米能级离能带边较远(通常大于 $3 k_{0} T$ )的情况。当半导体重掺杂的情况时，此时费米能级离导带底或者价带顶较近，再讨论带边的载流子浓度分布时就不能再用玻尔兹曼分布了，此时带边的载流子浓度分布概率就比较大了。
在半导体中，通常的情况，费米能级 $E_{F}$ 是位于禁带内的。通过上面的玻尔兹曼分布，可以得出：导带中绝大多数电子分布在导带底附近；价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近（因为随着 $E$ 的增加， $f (E)$ 迅速减小）
把服从玻尔兹曼统计率的电子系统称为非简并系统，而服从费米统计率的电子系统称为简并性系统

一般低掺杂的半导体服从玻尔兹曼分布，重掺杂的半导体服从费米分布
导带中的电子浓度： $n_{0} = N_{c} exp (- \frac{E _{c} - E _{F}}{k _{0} T})$ ， $N_{c} = 2 \frac{( 2 π m _{n}^{*} k _{0} T ) ^{3/2}}{h ^{3}}$

价带中的空穴浓度： $p_{0} = N_{v} exp (\frac{E _{v} - E _{F}}{k _{0} T})$ ， $N_{v} = 2 \frac{( 2 π m _{p}^{*} k _{0} T ) ^{3/2}}{h ^{3}}$

导带中的电子浓度也可以用 $n_{i}, E_{i}$ 来表示： $n_{0} = n_{i} exp (- \frac{E _{i} - E _{F}}{k _{0} T})$

都是根据玻尔兹曼分布推出的

$N_{c}$ ：导带有效状态密度 $N_{v}$ ：价带有效状态密度

$n_{0}$ ：导带中的平衡电子浓度 $p_{0}$ ：价带中的平衡空穴浓度
载流子浓度乘积： $n_{0} p_{0} = n_{i}^{2}$ 。

$n_{i}$ 是本征载流子的浓度

其浓度乘积与费米能级无关，与温度 $T$ 和半导体材料对应的禁带宽度 $E_{g}$ 有关(适用于热平衡状态下的非简并半导体，注意上式的成立情况是都在同一温度下。)。
本征半导体的费米能级 $E_{i}$ 基本上在禁带中线处
施主能级的占据规律：在施主能级不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据，所以不能直接用普通的费米分布公式来表示电子占据杂质能级的概率。

电子占据施主能级的概率公式： $f_{D} (E) = \frac{1}{1 + \frac{1}{g _{D}} e x p ( \frac{E _{D} - E _{F}}{k _{0} T} )}$

受主能级的占据规律：

空穴占据受主能级的概率公式：

$f_{A} (E) = \frac{1}{1 + \frac{1}{g _{A}} e x p ( \frac{E _{F} - E _{A}}{k _{0} T} )}$

式中， $g_{D}$ 是施主能级的基态简并度， $g_{A}$ 是受主能级的基态简并度，通常称为简并因子。

对于锗（Ge）、硅（Si）、砷化镓（GaAs）等材料： $g_{D}$ = 2； $g_{A}$ = 4

在半导体物理中，你主要需要在计算杂质能级上的电子或空穴分布时考虑“兼并因子”
- 这里以施主能级为例：如果电子占据了施主能级，那么电子和施主正离子的电性就相互抵消，即表现出电中性。
  
  所以我们可以求出 $n_{D}$ = $N_{D} * f_{D} (E)$ , $n_{D}$ 为中性施主杂质
  
  所以电离的施主杂质浓度为 $n_{D}^{+} = N_{D} - n_{D}$
施主杂质的电离规律：

施主电离的过程是：原本束缚在 $E_{D}$ 能级上的电子跳到导带，使杂质变成正电中心 $n_{D}^{+}$ 。
- 完全电离条件：当费米能级远在 $E_{D}$ 之下（ $E_{D} - E_{F} ≫ k_{0} T$ ）时。
  - 此时，占据施主能级的电子数 $n_{D} \approx 0$
  - 电离浓度 $n_{D}^{+} \approx N_{D}$ 。即：施主杂质几乎全部电离。
    
    只要 $N_{D} ≪ N_{c}$ ，即便完全电离，半导体依然维持在“非简并”状态，费米分布依然可以简化为玻尔兹曼分布。
    - $N_{D}$ 与相关参数的区别
      
      为了防止混淆，你需要区分以下三个极其相似的符号：
      - $N_{D}$ (施主浓度)：总共掺进去的杂质原子数。这是一个工艺参数，由制造芯片时的掺杂剂量决定。
      - $n_{D}$ (中性施主浓度)：虽然掺进去了，但还有多少个杂质原子依然“抓着”电子不放，没有电离。
      - $n_{D}^{+}$ (电离施主浓度)：已经把电子贡献给导带、自己变成正离子的杂质数量。
      根据电中性原理，它们的关系是： $N_{D} = n_{D} + n_{D}^{+}$ 。
- 基本不电离条件：当费米能级 $E_{F}$ 远在 $E_{D}$ 之上时。
- 特殊临界点 ( $E_{F} = E_{D}$ )：
  - 取简并因子 $g_{D}$ = 2。
  - 结果：1/3 的施主电离，2/3 没有电离。
受主杂质的电离规律：

受主电离的过程是：价带电子跳到 $E_{A}$ 能级上，在价带留下空穴，使杂质变成负电中心 $n_{A}^{-}$
- 完全电离条件：当费米能级 $E_{F}$ 远在 $E_{A}$ 之上时。
  - 此时，受主杂质几乎全部电离。
- 基本不电离条件：当费米能级 $E_{F}$ 远在 $E_{A}$ 之下时。
- 特殊临界点 ( $E_{F} = E_{A}$ )：
  - 取简并因子 $g_{A}$ = 4。
  - 结果：1/5 的受主电离，4/5 没有电离。
求**n型半导体(讨论施主杂质)**的载流子浓度(讨论不掺杂受主杂质的情况)

根据不同的温度范围进行区分分析
1. 低温弱电离区
  
  当温度很低时，大部分施主杂质能级仍为电子所占据，只有少量施主杂质发生电离，这少量的电子进入了导带，这种情况称为弱电离。
  
  此时 $n_{0} = n_{D}^{+}$ ; $p_{0} = 0$ (因为没有受主杂质，本征激发也比较微弱)
2. 强电离区(饱和电离区)
  
  当温度升高到大部分杂质都电离时称为强电离。
  
  此时满足： $n_{0} = N_{D}$ （因为 $n_{D}^{+} \approx N_{D}$ ）
3. 过渡区
  
  当半导体处于饱和区和完全本征激发之间时称为过渡区。此时导带中的电子一部分来源于全部电离的杂质，另一部分则由本征激发提供，这也使价带中产生了一定量的空穴。
  
  所以此时满足： $n_{0} = N_{D} + p_{0}$
4. 高温本征激发区
  
  继续升高温度，使本征激发产生的本征载流子数远多于杂质电离产生的载流子数，即 $p_{0} ≫ N_{D}$
  
  所以此时满足： $n_{0} = p_{0}$
半导体根据简并化程度进行的物理分类标准
1. 非简并状态
  1. 判据： $E_{c} - E_{F} > 2 k_{0} T$
  2. 物理含义：费米能级距离导带底较远（大于 2 倍的热能）。这意味着导带中的电子非常稀少，量子态远多于电子数。
  3. 数学特性：在这种情况下，我们可以使用简单的玻尔兹曼分布（指数函数）来近似费米分布。
  4. 应用：绝大多数普通的半导体器件（如低掺杂的衬底区域）都处于这个状态。
2. 弱简并状态
  1. 判据： $0 < E_{c} - E_{F} \leq 2 k_{0} T$
  2. 物理含义：随着掺杂浓度提高，费米能级进一步向导带靠近，已经进入了导带底附近的“热能边界”内。
  3. 数学特性：此时玻尔兹曼近似开始产生明显误差，必须使用完整的费米-狄拉克积分进行计算。
3. 简并状态
  1. 判据： $E_{c} - E_{F} \leq 0 （即 E_{F} \geq E_{c} ）$
  2. 物理含义：费米能级已经进入了导带内部。这意味着导带底附近的量子态已经被电子“填满”了，半导体的性质开始变得像金属一样。
  3. 数学特性：必须严格遵守泡利不相容原理，电子的统计行为完全受量子力学支配。
  4. 影响： $n_{0} p_{0} \neq = n_{i}^{2}$ ；杂质只有极少量电离；杂质电离能减小；禁带宽度减小
温度和掺杂浓度对费米能级的影响
1. 掺杂浓度对费米能级的影响
  1. 掺杂浓度决定了半导体的导电类型以及费米能级在禁带中的初始高度：
  2. N 型半导体：
    - 费米能级 $E_{F}$ 位于禁带中线 $E_{i}$ 以上。
    - 掺杂浓度 $N_{D}$ 越大，电子填充能带的水平越高，费米能级 $E_{F}$ 越靠近导带底 $E_{c}$ 。
  3. P 型半导体：
    - 费米能级 $E_{F}$ 位于禁带中线 $E_{i}$ 以下。
    - 掺杂浓度 $N_{A}$ 越大，电子填充能带的水平越低（空穴越多），费米能级 $E_{F}$ 越靠近价带顶 $E_{v}$ 。
  4. 本征半导体：无掺杂时，费米能级 $E_{F}$ 基本位于禁带中线 $E_{i}$ 处。
2. 温度对费米能级的影响
  1. 温度改变了载流子的统计分布和主要来源，导致费米能级发生移动：
  2. 总体趋势：随着温度升高，费米能级总是向禁带中线 $E_{i}$ 靠拢。
  3. 不同阶段的表现（以 N 型为例）：
    - 低温弱电离区：温度极低时，费米能级位于施主能级 $E_{D}$ 之上。随着温度微升，杂质开始电离，费米能级逐渐下降。
    - 饱和区（强离解区）：当费米能级下降到 $E_{D}$ 以下若干 $k_{0} T$ 时，杂质几乎全部电离，此时载流子浓度稳定，费米能级继续平缓下降。
    - 本征激发区（高温区）：当温度升得极高时，本征激发产生的载流子数远超杂质电离数，半导体性质趋向本征化，费米能级最终降至禁带中线 $E_{i}$ 处。
  4. P 型半导体：规律对称，随温度升高，费米能级从受主能级 $E_{A}$ 附近逐渐上升至禁带中线 $E_{i}$ 。

风过无痕

第三章-半导体中载流子的统计分布#