第3章模拟集成电路的非线性应用#

对数器和指数器#

对数器#

对数器是实现输出电压与输入电压成对数关系的非线性模拟电路。

PN结的伏安特性：

其数学表达式为： $I_{d} = I_{s} (e^{\frac{q}{k T} U_{d}} - 1)$ 参数含义： • $I_{d}$ —— PN结的正向导通电流 • $I_{s}$ —— PN结的反向饱和电流，它随温度变化 • $q$ —— 电子电荷量， $q = 1.602 \times 1 0^{- 19} C$ • $k$ —— 玻尔兹曼常数， $k = 1.38 \times 1 0^{- 23} J /^{\circ} C$ • $T$ —— 绝对温度 特定条件下的简化： • 当 $t = 2 5^{\circ} C$ 时，热电压： $\frac{k T}{q} \approx 26 mV$ • 当 $U_{d} > 100 mV$ 时，公式可近似为： $I_{d} \approx I_{s} e^{\frac{q}{k T} U_{d}}$
二极管对数放大器
1. 基础关系式：由 $u_{o} = - U_{d}$ ， $I_{d} \approx I_{S} e^{\frac{q}{k T} U_{d}}$
2. 得输出电压为： $U_{o} = - U_{d} = - \frac{2.3 k T}{q} l g (\frac{U _{i}}{R I _{S}}) = - U_{T} l g (\frac{U _{i}}{U _{k}})$
3. 参数说明：式中：
  1. $U_{T} = 2.3 \frac{k T}{q}$
  2. $U_{k} = R I_{S}$
4. 特定温度下的数值：当 $t = 2 5^{\circ} C$ 时， $U_{T} \approx 59 mV$ 。

指数器#

基本指数器

• 由基础关系 $U_{o} = - I_{e} R$ 和 $I_{e} = I_{S} e^{\frac{q}{k T} U_{be}}$ 导出。

• 输出电压公式： $U_{o} = - R I_{e} = - R I_{S} e^{\frac{q}{k T} U_{be}} = - R I_{S} e^{\frac{q}{k T} U_{i}}$ 。

• 当 $t = 2 5^{\circ} C$ 时， $U_{T} = 2.3 \frac{k T}{q}$ 。

乘法器及其应用#

乘法器的基础知识#

乘法器的基本组成

乘法器具有**两个输入端(通常称为X输入端和Y输入端)和一个输出端(**通常称为Z输出端)

乘法器的输出特性可以通过以下数学表达式描述：

$u_{o} (t) = K u_{X} (t) u_{Y} (t)$

或者简写为： $Z = K X Y$

K为增益系数或标度因子，单位为 $V^{- 1}$

四象限特性：意味着 $X$ 和 $Y$ 都可以是正数或负数
乘法器的基本性质
1. 乘法器的基本性质：静态特性
  
  乘法器的基本数学模型通常表示为： $Z = K X Y$ （其中 $K$ 为增益系数）。
  - 零点输出特性：
    
    当任一输入端为 0 时，输出必为 0。
    
    ◦ 若 $X = 0$ ，则无论 $Y$ 为何值， $Z = 0$ 。
    
    ◦ 若 $Y = 0$ ，则无论 $X$ 为何值， $Z = 0$ 。
  - 四象限输出特性（线性受控特性）
    
    条件：当其中一个输入量（如 $X$ ）固定为常数时。
    
    表现：输出 $Z$ 与另一个输入量 $Y$ 成正比。
    
    几何意义：在 $Z - Y$ 坐标系中，关系曲线是一条过原点的直线。因为 $X$ 可正可负，且 $Y$ 也可正可负，其工作范围涵盖四个象限，故称四象限输出特性。
  - 平方率输出特性
    
    条件：当两个输入端的幅值相等时（即 $X = Y$ 或 $X = - Y$ ）。
    
    表现：输出 $Z$ 与输入的平方成正比（ $Z = K X^{2}$ 或 $Z = - K X^{2}$ ）。
    
    几何意义：关系曲线呈抛物线状。
2. 乘法器的线性和非线性
  
  乘法器是一个比较特殊的器件，其“线性”性质取决于看待它的角度。
  - 本质是非线性器件
    - 理由：从整体来看，乘法器不满足线性系统中的叠加原理。
    - 例如：若 $Z = f (X, Y) = K X Y$ ，当 $X$ 和 $Y$ 同时变化时，输出不是输入的线性组合。
  - 特定条件下的线性表现
    - 条件：当其中一个输入电压为恒定值（ $X = 常数$ ）时。
    - 证明：设 $Y = V_{1} + V_{2}$ ，则： $Z = K X Y = K X (V_{1} + V_{2}) = K^{'} V_{1} + K^{'} V_{2}$ （其中 $K^{'} = K X$ 为常数）
    - 结论：在这种情况下，乘法器对信号 $Y$ 而言表现为线性放大器。
  - 核心总结：理想乘法器属于非线性器件还是线性器件，取决于两个输入电压的性质。

二极管检波器和绝对值变换器#

二极管检波器#

理想二极管检波器电路分析#

工作原理
- 情况一：当输入信号 $u_{i} > 0$ 时:
  
  二极管状态： $V D_{1}$ 导通， $V D_{2}$ 截止。
  
  电路反馈：由于 $V D_{1}$ 导通，电路通过 $V D_{1}$ 形成深度的负反馈。
  
  输出电压：
  
  运放输出端的电压 $u_{o}^{'} = - U_{D}$ （约为 $- 0.7 V$ ）。
  
  最终输出电压 $u_{o} \approx 0$ 。
- 情况二：当输入信号 $u_{i} < 0$ 时:
  
  二极管状态： $V D_{1}$ 截止， $V D_{2}$ 导通。
  
  电路反馈：此时电路相当于一个反相放大电路(假设反馈回路中有电阻 $R_{2}$ )。
  
  输出电压关系式：
  
  $u_{o} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} u_{i}$ (由于 $u_{i}$ 为负，所以 $u_{o}$ 为正值，实现了半波整流/检波)。
  
  运放输出端电压 $u_{o}^{'} = U_{D} + u_{o} = U_{D} - \frac{R _{2}}{R _{1}} u_{i}$ 。

实际的二极管检波特性分析#

电路误差主要来源于两个问题：运放并非理想( $A_{d}$ 有限)；二极管存在结压降 $U_{D}$ 。

1. 当 $u_{i} > u_{-}$ 时（正向截止区间误差） 此时 $i_{1} > 0$ ， $V D_{1}$ 导通， $V D_{2}$ 截止。 • 电路逻辑：此时输出 $u_{o}$ 理论上应为 0，但实际上由于 $u_{-}$ 不为 0，会产生微小输出。 • 电压关系： ◦ 运放输出： $u_{o}^{'} = - A_{d} u_{-} = u_{-} - U_{D}$ ◦ 反相端电位： $u_{-} = \frac{U _{D}}{1 + A _{d}}$ • 实际输出电压： $u_{o} = \frac{U _{D}}{1 + A _{d}} \cdot \frac{R _{L}}{R _{2} + R _{L}}$ 结论：由于 $A_{d}$ 非常大， $u_{o}$ 趋近于 0，但依然存在由 $U_{D}$ 引起的极小失调。 2. 当 $u_{i} < u_{-}$ 时（反相放大区间误差） 此时 $i_{1} < 0$ ， $V D_{1}$ 截止， $V D_{2}$ 导通。 • 电路逻辑：此时电路处于线性放大状态，理论输出为 $u_{o} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} u_{i}$ 。 • 反馈系数定义： $F = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}$ • 实际输出电压公式： $u_{o} = - \frac{R _{2}}{R _{1}} u_{i} (1 - \frac{1}{1 + A _{d} F}) - \frac{U _{D}}{1 + A _{d} F}$ • 相关中间式： ◦ $u_{-} = - \frac{u _{o} + U _{D}}{A _{d}}$ ◦ $u_{o}^{'} = u_{o} + U_{D} = - A_{d} u_{-}$

绝对值检波电路#

反相型绝对值检波电路#

1. 工作原理分析

电路根据输入电压 $u_{i}$ 的极性不同，工作路径会发生切换：
- 当 $u_{i} < 0$ 时：
  - $V D_{1}$ 导通， $V D_{2}$ 截止。
  - 运算放大器 $A_{1}$ 的输出端通过 $V D_{1}$ 反馈，使得 $u_{A} = 0$ （虚地）。
  - 此时输出电压仅受 $u_{i}$ 经 $R_{2}$ 到 $A_{2}$ 反相输入端的影响。
  - 输出公式： $u_{o} = - \frac{R _{5}}{R _{2}} u_{i}$ 。由于 $u_{i} < 0$ ，所以 $u_{o} > 0$ 。
- 当 $u_{i} > 0$ 时：
  - $V D_{1}$ 截止， $V D_{2}$ 导通。
  - $A_{1}$ 与 $R_{1}, R_{3}$ 构成反相比例电路， $u_{A} = - \frac{R _{3}}{R _{1}} u_{i}$ 。
  - $A_{2}$ 作为一个加法比例电路，同时接收来自 $R_{2}$ 的 $u_{i}$ 和来自 $R_{4}$ 的 $u_{A}$ 。
  - 输出公式： $u_{o} = - \frac{R _{5}}{R _{2}} u_{i} - \frac{R _{5}}{R _{4}} u_{A}$ 。代入 $u_{A}$ 后得：
    
    $u_{o} = \frac{R _{5} ( R _{2} R _{3} - R _{1} R _{4} )}{R _{1} R _{2} R _{4}} u_{i}$

2. 电阻匹配条件

为了实现全波整流（即不论 $u_{i}$ 正负， $u_{o}$ 幅值相等），需要满足匹配条件：
- 匹配要求： $R_{3} R_{2} = 2 R_{1} R_{4}$ 。
- 典型取值：若取 $R_{1} = R_{3}$ ，则要求 $R_{4} = 0.5 R_{2}$ 。
- 最终效果：在满足上述条件且 $R_{5} = R_{2}$ 时，输出电压为：
  
  $u_{o} = ∣ u_{i} ∣$
其传输特性曲线呈 “V” 字形。

限幅器#

二极管并联式限幅器#

二极管并联式限幅器的电路分析

注意： $U_{im}$ 指的是二极管是否导通的“临界点”的输入电压值

电路结构说明#

该限幅器通常基于反相放大器结构，在输入回路中引入二极管 VD 和参考电压 $U_{re f}$ 进行限幅控制。

$R_{1}, R_{2}$ ：输入回路电阻。
$R_{3}$ ：反馈电阻（根据公式推导，此处限幅器为反相器结构）。
A 点：限幅电路的关键节点，位于 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 之间。
$V D$ ：限幅二极管，其导通压降为 $U_{D}$ 。

工作状态分析#

状态一：二极管截止（线性放大区）

当输入电压 $u_{i}$ 低于某一门限电压 $U_{im}$ 时，二极管 VD 截止。
- 判断条件： $u_{i} < U_{im}$ 且 $u_{A} < (U_{re f} + U_{D})$ 。
- 门限电压：
  
  $U_{im} = (U_{re f} + U_{D}) (1 + \frac{R _{1}}{R _{2}})$
- 输出电压：此时电路处于线性放大状态，输出随输入线性变化。
  
  $u_{o} = - \frac{R _{3}}{R _{1} + R _{2}} u_{i}$
- 传输特性斜率：
  
  $k_{1} = - \frac{R _{3}}{R _{1} + R _{2}}$
状态二：二极管导通（限幅区）

当输入电压 $u_{i}$ 继续升高并超过门限电压 $U_{im}$ 时，二极管 VD 导通。
- 判断条件： $u_{i} \geq U_{im}$ 。
- 钳位原理：此时 A 点电压被钳位在固定电平上。
  
  $u_{A} = U_{re f} + U_{D}$
- 输出电压：输出电压不再随 u_i 变化，保持为恒定的限幅值。
  
  $u_{o} = U_{o m} = - \frac{R _{3}}{R _{2}} (U_{re f} + U_{D})$

传输特性曲线#

根据图 3-4-2 的描述：

线性段：过原点，斜率为负 $(k_{1})$ ，表明这是一个反相限幅电路。
转折点：当 $u_{i} = U_{im}$ 时，输出达到限幅值 $U_{o m}$ 。
限幅段：当 $u_{i} > U_{im}$ 时，输出保持在 $U_{o m}$ 水平直线，不再随输入增加而下降（绝对值不再增加）。

实际应用的二极管并联式限幅器#

在基本电路中，二极管的导通压降 U_D 会随温度变化，导致限幅电平不稳定。图 3-4-3 展示了利用三极管（晶体管）进行改进的方案。

核心原理：温度补偿#

结构特点： 使用两个特性一致的三极管 $V T_{1}$ 和 $V T_{2}$ 。
工作状态：
- $V T_{2}$ ：接成二极管形式并接入恒流源通路，一直保持导通状态。
- $V T_{1}$ ：作为限幅元件，只有当信号达到一定强度导通后，才真正起到限幅作用。
补偿机制： 由于两个三极管的结压降（ $U_{b e 1} 和 U_{b e 2}$ ）具有相似的温度特性，公式中的压降项互相抵消，从而实现了温度补偿，提高了限幅精度的稳定性。

数学推导#

门限电压：

$U_{im} = (U_{re f} + U_{b e 1} - U_{b e 2}) (1 + \frac{R _{1}}{R _{2}})$
输出限幅电压：

$U_{o m} = - (U_{re f} + U_{b e 1} - U_{b e 2}) \cdot \frac{R _{3}}{R _{2}}$

注：当 $V T_{1}$ 与 $V T_{2}$ 对称时， $U_{b e 1} \approx U_{b e 2}$ ，公式可简化为不含结压降的形式，受温度影响极小。

双向限幅器#

图 3-4-4 介绍了如何通过改变电路极性或组合电路来实现多象限、多方向的限幅。

实现方式#

单向特性的改变：
- 如果将参考电压 $U_{re f}$ 的极性改变（如变为 $- U_{re f}$ ），并同时反转二极管 VD 的方向，即可实现第二象限内的传输特性（即对负向信号进行限幅）。
双向限幅的合成：
- 如果在输入端同时采用上述两种限幅方法（并联正向和负向两个限幅支路），便可得到双向限幅器。

传输特性分析#

线性区：在 $U_{im 2} < u_{i} < U_{im 1}$ 之间，电路进行线性放大，斜率为负。
正向限幅：当 $u_{i} \geq U_{im 1}$ 时，输出被钳位在 $- U_{o m 2}$ （图中对应反相后的电平）。
负向限幅：当 $u_{i} \leq U_{im 2}$ 时，输出被钳位在 $U_{o m 1}$ 。
结果：输出波形在上下两个方向均被限制，保护后级电路不被过大信号损坏。

二极管串联式限幅器#

电压比较器及其应用#

电压比较器的性能#

一般运放在使用时，往往是工作在闭环状态，多数应用中还要求运放工作在负反馈闭环状态。而当用作电压比较器时，集成运放应处在开环工作状态。电压比较器频带较宽，无需相位补偿，以便尽可能获得高速翻转，减小响应时间。

单限电压比较器#

基本电路和输入输出特性

前提条件： 外加一个门限电位 $E_{m}$ 。逻辑关系： • 当 $U_{i} < E_{m}$ 时， $u_{O} = U_{O L}$ ； • 当 $U_{i} > E_{m}$ 时， $u_{O} = U_{O H}$ 。

结论： 这种特性称为上行特性。

前提条件： 外加一个门限电位 $E_{m}$ 。逻辑关系： • 当 $U_{i} > E_{m}$ 时， $u_{O} = U_{O L}$ ； • 当 $U_{i} < E_{m}$ 时， $u_{O} = U_{O H}$ 。

结论： 这种特性称为下行特性。

迟滞电压比较器#

具有迟滞输出特性的电压比较器，叫迟滞电压比较器，也称回差电压比较器。

输入输出特性#

迟滞电压比较器具有两个不相等的门限电位，这是其核心特征：

上门限电位 ( $E_{m H}$ )：数值较大的门限电位。
下门限电位 ( $E_{m L}$ )：数值较小的门限电位。
门限宽度（回差电压）：用 $Δ E_{m}$ 表示，计算公式为：

$Δ E_{m} = E_{m H} - E_{m L}$

迟滞电压比较器的工作原理#

1. 电路特点

电路中引入了正反馈回路（反馈信号引回到运放的同相输入端）。
2. 主要作用
- 使比较器获得迟滞特性（抗干扰能力强）。
- 加速比较器的转换过程（状态翻转更迅速）。
3. 限幅电路

图示电路输出端使用了两个稳压二极管 ( $V D_{Z 1} 、 V D_{Z 2}$ )。正常工作时，一个击穿，另一个导通，因此准确的输出限幅电压为 $\pm (U_{Z} + U_{D})$ 。

分析步骤与计算公式#

1. 确定输出电压 $u_{o}$

输出电压通常受限幅电路控制，状态为：
- $U_{O H} = U_{Z}$
- $U_{O L} = - U_{Z}$
2. 写出同相端 ( $u_{+}$ ) 和反相端 ( $u_{-}$ ) 的表达式

根据图示电路：
- 同相端： $u_{+} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} u_{o}$ （利用电阻分压原理）
- 反相端： $u_{-} = u_{i}$
3. 求出门限电位 E_{mH} 和 E_{mL}

设定临界条件 $u_{+} = u_{-}$ ，将 $u_{o}$ 的两个值分别代入公式：
- 上门限电位： $E_{m H} = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} U_{Z}$
- 下门限电位： $E_{m L} = - \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}} U_{Z}$
4. 判断特性类型

观察输入信号 $u_{i}$ 接入运放的哪一端：
- 下行特性： 若 $u_{i}$ 从反相端 (-) 输入（输入增大时输出从高跳变到低）。
- 上行特性： 若 $u_{i}$ 从同相端 (+) 输入（输入增大时输出从低跳变到高）。
5. 画出传输特性曲线

通过上述步骤求得的门限电位和特性方向，画出 $u_{o} - u_{i}$ 关系曲线，以此分析比较器的工作状态。

风过无痕

第3章 模拟集成电路的非线性应用#